Giusseppe

Ayer tuve una clase particular y no pude por menos que recordar la anécdota que dice cómo demostró desde infante el gran Carl Friedrich Gauss su talento, su genialidad, su creatividad puesta al servicio de la matemática:

Se cuenta la anécdota de que, a los dos años de estar en la escuela, durante la clase de Aritmética, el maestro propuso el problema de sumar los números de una progresión aritmética. Gauss halló la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo «Ligget se’» (‘ya está’). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución de Gauss era correcta, mientras que no lo eran muchas de las de sus compañeros.

Lo que había hecho era tan simple como sorprendente:

Les habían dado a sumar (a la edad de 8 años) los 100 primeros números naturales (1+2+3+…+99+100) y la mayoría se lanzó a sumarlos tal cual… Pero Gauss inventó un método más rápido y mucho, mucho, más sencillo.

Sumo esos términos de la sucesión con los equivalentes invertidos (100, 99, … 3, 2, 1) obteniendo 101 en cada suma parcial y un total de 100 veces, lo que le daba 100×101 = 10100 que luego, simplemente, tuvo que dividir por 2 (5050) pues había usado 2 sucesiones iguales, obteniendo el brillante método que aún hoy se enseña para contar series aritméticas.

De una manera más geométrica y que no tiene relación directa con los números triangulares (creo), se me ocurrió contarle la posibilidad de sumar las series (o demostrar la misma ecuación) utilizando un triángulo:


a(1)= a
a(2)= a+d
a(3)= a+d+d
a(4)= a+d+d+d
...
...
a(n)=a+d+d+...(n-1)veces +d


Forma un «triángulo cuántico» de n·(n-1) «d». Que tendrá un Área de n·(n-1)/2

De esta manera, se puede obtener los n·a +n·(n-1)/2 · d
Sacando factor común n/2:

S(n)= n/2 · (2·a + (n-1)·d)